ರಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ: ಮೂಲ ಮಾಹಿತಿ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಸೂತ್ರೀಕರಣ

ರಸ್ಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರತಿಜನಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ರಸ್ಸೆಲ್ ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸ್ನ ಎರಡು ಪ್ರಕಾರಗಳು

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ರೂಪವು ಸೆಟ್ಗಳ ತರ್ಕದ ವಿವಾದವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಗಳು, ತೋರುತ್ತದೆ, ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸದಸ್ಯರು, ಮತ್ತು ಇತರರು - ಅಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಕೂಡಾ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಖಾಲಿ ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಮ್ಮ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್, ಶೂನ್ಯ ಹಾಗೆ, ಸ್ವತಃ ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸೆಟ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸದಸ್ಯ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗದೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಮತ್ತೊಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರರು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯ ಆಸ್ತಿ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬೆಕ್ಕಿನ ಆಸ್ತಿಯು ಅಲ್ಲ. ಸ್ವತಃ ಅನ್ವಯಿಸದ ಆಸ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಸ್ವತಃ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ? ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಯಾವುದೇ ಊಹೆಯಿಂದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸ್ಸೆಲ್ (1872-1970) ನಂತರ ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು, ಅದು 1901 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು.

ಇತಿಹಾಸ

"ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್" ನ ಕೆಲಸದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ರಸೆಲ್ ಅವರ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಸಂಭವಿಸಿತು. ಅವರು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದರಾದರೂ, ಅರ್ನೆಸ್ಟ್ ಜೆರ್ಮೆಲೊ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ರಂತಹ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇತರ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಅಭಿವರ್ಧಕರು ಅವನಿಗೆ ಮೊದಲು ಇರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಎಂಬ ಸಾಕ್ಷ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಸೆಲ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟವಾದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು, ಮೊದಲು ಅವರು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದರ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಶಂಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. "ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್" ನ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಧ್ಯಾಯವು ಈ ವಿಷಯದ ಚರ್ಚೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಅನೆಕ್ಸ್ ವಿಧಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿತ್ತು, ಇದು ರಸ್ಸೆಲ್ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು.

ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಸಬ್ಜೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಿಂತ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ನ ಶಕ್ತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ರಸ್ಸೆಲ್ "ಸುಳ್ಳು ವಿರೋಧಾಭಾಸ" ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅನೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಇರಬೇಕು, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಮಾತ್ರ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉಪಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಅವರು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ƒ ಕಾರ್ಯವು ƒ ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಂದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪಪತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ƒ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇತರರು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ತಮ್ಮ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುವುದು. ಇದು ಸ್ವತಃ ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ƒ ಕಾರ್ಯವು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅದನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಅಂಶವು ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ಸೇರಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ರಸ್ಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಕೇವಲ ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಯಾವುವು - ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು? ಸೆಟ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸೆಟ್ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಇರಬೇಕು. ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದನ್ನು ರಸ್ಸೆಲ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕ್ಯಾಂಟೊರಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅದು ಅವರು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾದ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರಸ್ಸೆಲ್ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ವತಃ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗುತ್ತದೆ.

ದೋಷ ಫ್ರೀಜ್

"ಸುಳ್ಳುಗಾರನ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು" ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಆಳವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಸ್ಥಿತಿಯೂ ಅಥವಾ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವಂತಹ ಸಂಗತಿಗಳ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದೆಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅವರು ಪ್ರಶ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕುರಿತಾದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಭಿನ್ನತೆ - ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಆವೃತ್ತಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ - ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಧಾರಿತ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಥವಾ ಆದ್ಯತೆಗೆ ಒಂದು ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಉದ್ದೇಶದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಂಭೀರ ಸಂಶಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದೆ.

ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ, ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. 1902 ರಲ್ಲಿ, ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಗೊತ್ಲೊಬ್ ಫ್ರ್ಜ್ನ ದಿ ಫೌಂಡೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಗೊತ್ಲೋಬ್ ಫ್ರ್ಜ್ನ ಸಂಪುಟ I ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ರಸ್ಸೆಲ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಫ್ರೀಜ್ನ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ "ವಿಸ್ತರಣೆ" ಅಥವಾ "ಮೌಲ್ಯ-ವ್ಯಾಪ್ತಿ" ಎಂದು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಪ್ರತಿ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಭವಿಷ್ಯಕ್ಕೆ ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುವುದಿಲ್ಲವಾದ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗದೂ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಹಾಗಲ್ಲವಾದರೆ ಅದು ವಿವರಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ.

ಜೂನ್ 1902 ರಲ್ಲಿ ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಬಗ್ಗೆ ಫ್ರೀಜ್ಗೆ ರಸ್ಸೆಲ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಚರ್ಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಹಾನಿಕಾರಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಫ್ರ್ಗೆಜ್ ಗುರುತಿಸಿದ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತನ್ನ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ವಿಚಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು.

ವಾದಗಳನ್ನು ರಿಂದ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಫ್ರೀಜ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಮೊದಲ ಹಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವಾದಗಳೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಎರಡನೆಯ ಹಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಾದಗಳು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಎಂದಿಗೂ ಸ್ವತಃ ವಾದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೆಟ್ಗಳು, ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಸ್ತುಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವು ಎಂದು ಫ್ರೀಜ್ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಂಡರು. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಿದೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ.

ಫ್ರೆಜ್ ರಸ್ಸೆಲ್ರ ಮೊದಲ ಪತ್ರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ, "ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಆರ್ತ್ಮೆಟಿಕ್" ನ ಎರಡನೆಯ ಸಂಪುಟವು ಮುಗಿದಿದೆ. ರಸ್ಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ ನೀಡುವಂತಹ ಒಂದು ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ಅವರು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಫ್ರೀಜ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಆದರೆ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ನ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಿದ ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಅವರು ಬಂದರು.

ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅದು ವಸ್ತುವಿನ ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಪರಿಷ್ಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವೇ ಬೀಳಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಮಾತ್ರ ವಸ್ತುವು ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ರಸ್ಸೆಲ್ರ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ಧಾರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಫ್ರಿಜ್ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅದು ಕಾರಣ. ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಪರಿಷ್ಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಕ್ಕೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿವಾದಾಸ್ಪದ ರೂಪ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದ ಮುಂಚೆಯೇ, ಫ್ರೀಜ್ ತಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ವಿಧಾನವು ಸರಳವಾಗಿ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಬಹುದು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದರು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಯಶಸ್ವಿ ಪರ್ಯಾಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಥಿಯರಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತರವನ್ನು ಫ್ರ್ಗೆ ಹೊಂದಿದ್ದನೆಂದು ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಹೆಚ್ಚು ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಫ್ರಿಜ್ನ ಉತ್ತರವು ಮುಂದಾಯಿತು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರವು ಅದು ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಅಂಶಗಳಂತೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಆದುದರಿಂದ, ಆಸ್ತಿ ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ತಾನೇ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಕ್ರಮಾನುಗತದಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ತಾರ್ಕಿಕ ಭಾಷೆ ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಫ್ರೆಜ್ನಿಂದ ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟರೂ, ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಗೆ ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ ರಸ್ಸೆಲ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥಿಸಿದರು. ಫ್ರಿಜ್ ಮಟ್ಟಗಳ ನಡುವಿನ ಭಿನ್ನತೆಗಿಂತ ವಿಧದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಹಂಚಿಕೊಂಡಿತ್ತು, ಆದರೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ರಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಿದೆ.

ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಬೇಕೆಂದರೆ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಾಗಿ ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ವೀಕಾರವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸ್ವಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಯಾಕೆ ಅವರು ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವೇ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ವ-ಒಂದೇ ಎಂಬ ಸ್ವತ್ತು, ಅದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಯಂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುವ ಗುಣವು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಬೆಕ್ಕಿನ ಆಸ್ತಿಯು ಬೆಕ್ಕು ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸುಳ್ಳು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಹೇಗಾದರೂ, ವಿವಿಧ ಚಿಂತಕರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿದರು. ರಸ್ಸೆಲ್ ತಮ್ಮ ವೃತ್ತಿಜೀವನದ ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅವರ ಪಾಲಿಗೆ, ಫ್ರಿಜ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯು ಅವನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು, ಅವರು ವಾದವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಪ್ರಕಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಇನ್ನೂ ಅದರ ವಾದವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ವರ್ಗಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಗುಣಗಳ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದದ ಮೇಲೆ

ಆಸ್ತಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಆಸ್ತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದು. ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾರಾದರೂ ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ, ನಾಮಾಂಕಿತತೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು.

ಹೇಗಾದರೂ, ಆಂಟಿನೋಮಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಆದ್ದರಿಂದ ತೀವ್ರ ಅಲ್ಲ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಫ್ರೆಜ್ ಮತ್ತು ರಸ್ಸೆಲ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಉನ್ನತ-ಶ್ರೇಣಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಪ್ರತಿ ಮುಕ್ತ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದು ಎಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ ವಿಷಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಂಶವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಅವರು ಅನ್ವಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿದ್ದರು, ಅವರು ಎಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದರೂ ಇರಲಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣ ಮೆಟಾಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣ, ಗಡಸುತನ, ದಯೆ ಇತ್ಯಾದಿ ಸೇರಿದಂತೆ, ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಹಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಗುಣಗಳನ್ನು ತಮ್ಮನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಹ ಅನುಮತಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕರುಣೆ ದಯಮಾಡಿ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಸ್ಥಾನಮಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಹದಿನೇಳು ತಲೆ" ಹೊಂದಿರುವಂತಹ "ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು", ನೀರಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ-ಬರೆಯಲ್ಪಡುವಂತಹವುಗಳಿಗೆ ನಿರಾಕರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವ ಆಸ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅದರ ಸ್ವಂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಮೆಟಾಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ವ-ಆಸ್ತಿ-ಇದು-ಅನ್ವಯಿಸದ-ಸ್ವಯಂ-ಸರಳ-ಸ್ವತ್ತಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದು.

ರಸ್ಸೆಲ್ರ ವಿರೋಧಾಭಾಸ: ಪರಿಹಾರ

ತನ್ನ ಜೀವನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಜ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೆಟ್ಗಳ ತರ್ಕವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಂಟಿನಮಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ: ಒಟ್ಟಾರೆ ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸರಳ ನಿರಾಕರಣೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಇತರ ಜನಪ್ರಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ವಿವರಗಳು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಸೆಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಧಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಥವಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ವಿಭಿನ್ನ ಬಗೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ವಿಧಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಸ್ಸೆಲ್ ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಂಡರು, ಆದರೆ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದನು. ರಸ್ಸೆಲ್ ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಂತೆ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸೆಟ್ಸ್ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಯಾವತ್ತೂ ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಸದಸ್ಯನಾಗಿ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಎಂದಿಗೂ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಪದಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರು ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಒಂದು ವಿಧದ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೆ, ವಿಭಜನೆಯ ತತ್ತ್ವಚಿಂತನೆಯ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿವರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಇಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆ.

ಶ್ರೇಣೀಕರಣ

1937 ರಲ್ಲಿ ವಿ.ವಿ. ಕ್ವಿನ್ ಅವರು ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅವನ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಮಾಹಿತಿ ಹೀಗಿದೆ.

ಒಂದು ಅಂಶ, ಸೆಟ್ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅದು ಸ್ವತಃ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಊಹೆ ಯಾವಾಗಲೂ ತಪ್ಪು ಅಥವಾ ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿಯಮಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ವಿಧಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ವಿನ್ಗೆ, "x ಎನ್ನುವುದು x ನ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ X ಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ ಕೆಲವು ಮುಕ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವೇ, ಅಂದರೆ, ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿದರೆ, ಹಿಂದಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಿಯೋಜನೆಯು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮುಂದೆ. ಇದು ರಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರವು ಸದಸ್ಯತ್ವ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮುಂಚೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ನಿರೋಧಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ವಿನ್ "ಹೊಸ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥೆಮೆಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾರ್ಟಿಂಗ್

ಝೆರ್ಮಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (ZF) ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ, ಅಂತಹ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು, ಸಿಎಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ "ಕೆಳಗಿನಿಂದ" ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮೊದಲು ನಂಬಿದ್ದ ರಸೆಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೈಜ್ನ "ಉನ್ನತ-ಕೆಳಗೆ" ವಿಧಾನದ ಬದಲಿಗೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಸೆಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೀಜ್ನ ಆರಂಭಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಂತಲ್ಲದೆ, ಎಫ್ಟಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು FT ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಿದ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕಲಿಸಬಹುದಾದಂತಹವುಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ನಂತರ, ಒಂದು ನಿಷ್ಕಪಟ ಗುಂಪಿನ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ಅಂಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ, ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ತತ್ವ, ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ "ಸಾರ್ಟಿಂಗ್" ಅನ್ನು FT ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಬದಲಿಗೆ, ವಿನಾಯಿತಿ ಇಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೆಟ್ಗೆ, ವಿಂಗಡಿಸುವಿಕೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ತದನಂತರ ಅಮೂರ್ತ ತತ್ವವು ಬರುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, x ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೂ X, ಉಪವರ್ಗ A ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು C ಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು X ಯು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸಿದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಈ ವಿಧಾನವು ರಸ್ಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಾರದು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳೂ ಇವೆ.

ಸೆಟ್ಗಳ ಹೊಂದಿರುವ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿಲ್ಲದಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೆಟ್ ಇಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ರಸ್ಸೆಲ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ ಸೆಟ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ವೈರುಧ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಜೊತೆಗೆ, "ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್" ವ್ಯವಸ್ಥೆ ವಿಸ್ತರಣೆ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತರ್ಕ" ಕ್ವೈನ್, ಹಾಗೂ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಕವಲೊಡೆದ ರೀತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ನಂತರದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಈ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು, ನಡೆದಿವೆ, ಬೆರ್ನಿಯ್ಸ್, ಗೋಡೆಲ್ರ ಮತ್ತು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಮಾಡಿದ. ಕರಗದ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸ್ಸೆಲ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು, ಇನ್ನೂ ಚರ್ಚಾಸ್ಪದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.